相似矩阵和矩阵的特征值特征向量
相似矩阵 问题描述 为什么会产生相似矩阵这个感念？ 场景描述：假定在一个线性空间当中，存在两组不同的基向量。在空间当中任何一个向量在不同的基下，投影的长度、方向都有所不同。当我们对这个向量施加变换的时候，也就是左乘一个变换矩阵，在不同的基下，这个左乘的矩阵形式上面是不同的，但是，它们有一个共同特点，就是相似，因为描述了同一个变换。 正向推导 按照我们刚才看到的这段话，我们可以用数学语言进行一次推导。 同一个向量不同基下的描述 假设线性空间内基由$n$个向量组成，我们不妨选取其中两组基：$\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha_1} & \boldsymbol{\alpha_2} \cdots \boldsymbol{\alpha_n} \end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}\boldsymbol{\beta_1} & \boldsymbol{\beta_2} \cdots \boldsymbol{\beta_n} \end{bmatrix}$。 在此空间内的任意向量$\boldsymbol{b}$: $$ \begin{equation} \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha_1} & \boldsymbol{\alpha_2} \cdots \boldsymbol{\alpha_n} \end{bmatrix} \boldsymbol{x_1} \tag{1} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix}\boldsymbol{\beta_1} & \boldsymbol{\beta_2} \cdots \boldsymbol{\beta_n} \end{bmatrix}\boldsymbol{x_2} \tag{2} \end{equation} $$ 对于$\boldsymbol{b}$，有： $$ \begin{equation} [\boldsymbol{\alpha}]\boldsymbol{x_1}=[\boldsymbol{\beta}]\boldsymbol{x_2} \label{eq3}\tag{3} \end{equation} $$ 一次线性变换 对该向量做一次线性变换，分别得到在两组基下面的坐标向量：$\boldsymbol{y_1},\boldsymbol{y_2}$ 那么，同一组基下，变换前后的两个向量具有如下的关系： $$ \begin{equation} T_1 \boldsymbol{x_1}=\boldsymbol{y_1} \label{eq4}\tag{4} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} T_2 \boldsymbol{x_2}=\boldsymbol{y_2} \label{eq5}\tag{5} \end{equation} $$ ...