https://warden2018.github.io/tags/%E6%A0%87%E5%AE%9A/Recent content in 标定 on Yang's BlogHugozh-cnTue, 02 Dec 2025 00:00:00 +0000https://warden2018.github.io/posts/2025-12-02-robothand-eye_calibration/Tue, 02 Dec 2025 00:00:00 +0000https://warden2018.github.io/posts/2025-12-02-robothand-eye_calibration/<p>本文参考了<a href="https://www.torsteinmyhre.name/snippets/robcam_calibration.html">OPENCV</a></p> <h2 id="问题描述">问题描述</h2> <p>在机器人系统中，经常遇到需要确定相机（眼睛）与机器人末端（TCP）之间的安装关系。如果相机不在机械臂末端，往往末端会安装一个相机能够识别的标记物，相机系统给出该标记物在相机空间的三维坐标和姿态。无论上述哪种安装类型，都需要确定一个方程的解：$AX=XB$，$A,B$是已知的齐次矩阵，$X$是未知的齐次矩阵。</p> <p><img loading="lazy" src="https://images-1302340771.cos.ap-beijing.myqcloud.com/extrinsic-camera-calibration-stationary-camera.png"></p> <p>利用李代数和最小二乘解决$AX=XB$的问题。</p> <h2 id="平移旋转分开求解">平移旋转分开求解</h2> <h2 id="从齐次等式提取旋转部分">从齐次等式提取旋转部分</h2> <p>$$ \begin{bmatrix} R_A &amp; b_A \ 0 &amp; 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_X &amp; b_X \ 0 &amp; 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} R_X &amp; b_X \ 0 &amp; 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} R_B &amp; b_B \ 0 &amp; 1 \end{bmatrix} $$</p> <p>$$ R_AR_X=R_XR_B $$</p> <h2 id="李代数和李群之间的相互映射">李代数和李群之间的相互映射</h2> <p>在SO(3)上，旋转矩阵$R$的李代数$\phi$ $\boldsymbol u\in so(3)$是一个三维向量($\boldsymbol u$是一个单位向量，$\phi\in \mathbb R$)。$\boldsymbol u^{\wedge}$是一个反对称矩阵。</p> <h3 id="so3李代数到so3的指数映射罗德里格斯公式">so(3)李代数到SO(3)的指数映射&ndash;罗德里格斯公式</h3> <p>$$ R=e^{\phi \boldsymbol u^{\wedge}}=\cos\phi I + (1-\cos \phi) \boldsymbol u\boldsymbol u^T + \sin \phi \boldsymbol u^{\wedge} $$</p>