相似矩阵和矩阵的特征值特征向量
相似矩阵
问题描述
为什么会产生相似矩阵这个感念? 场景描述:假定在一个线性空间当中,存在两组不同的基向量。在空间当中任何一个向量在不同的基下,投影的长度、方向都有所不同。当我们对这个向量施加变换的时候,也就是左乘一个变换矩阵,在不同的基下,这个左乘的矩阵形式上面是不同的,但是,它们有一个共同特点,就是相似,因为描述了同一个变换。 ## 正向推导
按照我们刚才看到的这段话,我们可以用数学语言进行一次推导。
同一个向量不同基下的描述
假设线性空间内基由
在此空间内的任意向量
对于
一次线性变换
对该向量做一次线性变换,分别得到在两组基下面的坐标向量:
那么,同一组基下,变换前后的两个向量具有如下的关系:
上面的关系先摆在这里,下面在推导相似矩阵的时候,会用到。
两组基的关系
建立两组基之间的联系: 既然是在同一空间内,
类似地,
两个变换矩阵的关系
此处请注意
这里解释一下为什么
小结
相似矩阵是一个“家庭”,其中
一个线性变换是一个函数。一旦确定了这个函数对定义域中的每一个对象的变换,也就确定了这个函数。所以,从这一点上看,变换和基也是“配套使用”。就像线性空间内的任意一个对象需要一组基和一个列向量。但是,线性空间内的每一个元素最小需要一组基来做线性组合。
通过刚才的步骤,相似矩阵是在不同的基下,描述同一个线性变换所对应的所有矩阵。这个矩阵的构造是我们从两个基开始的,每一个列向量中的元素是遍历一个基中的向量向另外一个基所有向量做投影之后得到的数。一步一步地完成了两个空间之间变换关系。请大家注意推导过程的(
矩阵的特征值和特征向量
定义:
关键点在于,某些特定的向量,经过矩阵
其中:
从而得到:
划重点:
首先(推导到一半发现这里不太对,引起注意,这里容易出问题),需要明确,假设
更具体地说就是,任意给定一个向量
在以特征向量为基底的变换,更为简单,只需要把待变换的向量做各个基的投影,得到投影向量,再利用特征值进行伸缩变换。但是在单位正交基底下,待变换的向量做完投影,没有办法直接进行伸缩变换,还是需要对投影向量做复杂的旋转、拉伸,这个过程不易理解,不可控制。 下面是几个问题: 1. 投影矩阵的特征值有哪些?有什么样的特性。
答:对于空间内的向量,经过投影矩阵的作用,可以分类为三类:第一类是在投影矩阵要投影的子空间,即上面所说的
2.两个相似矩阵的特征值有什么关系?
答:相似矩阵有相同的特征值。证明如下:矩阵